Осколки фейерверка падают в одну точку

Перейдите в систему отсчёта одного из осколков: в ней второй осколок движется с постоянной скоростью, равной разности начальных скоростей. Найдите угол, при котором расстояние максимально.

По условию векторы начальных скоростей образуют с горизонтом углы \(\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)\) — на настильной траектории и \(\left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)\) — на навесной траектории (см. рис.). В системе отсчета, связанной с первым осколком (летящим по настильной траектории), расстояние между осколками растет со скоростью \(\Delta v = 2v_0\sin\alpha\).

Продолжительность полета первого осколка \(T = \dfrac{2v_0}{g}\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)\). В момент падения первого осколка на площадку расстояние между осколками \[d = \Delta v\cdot T = \frac{2v_0^2}{g}\,2\sin\alpha\,\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right) = \frac{2v_0^2}{g}\left(\cos\left(2\alpha-\frac{\pi}{4}\right) - \cos\frac{\pi}{4}\right).\] Наибольшее расстояние наблюдается при \(\cos\left(2\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right)=1\), \(\alpha=\dfrac{\pi}{8}\) и равно \(d_{MAX} = \left(2-\sqrt2\right)\dfrac{v_0^2}{g}\). Отсюда \[v_0 = \sqrt{\frac{g\,d_{MAX}}{2-\sqrt2}} = \sqrt{\left(1+\frac{\sqrt2}{2}\right)g\,d_{MAX}}.\]