Санки на склоне с двумя коэффициентами трения

Санки разгоняются на верхнем участке и тормозят на нижнем. Наибольшая скорость достигается в точке перехода между участками. Используйте теорему об изменении полной механической энергии.

По условию \(\mu_1 < \mathrm{tg}\,\alpha\), \(\mu_2 > \mathrm{tg}\,\alpha\): санки на верхнем участке склона движутся равноускоренно, на нижнем — равнозамедленно. При движении по склону от старта до финиша приращение потенциальной энергии, отсчитанной от нуля у основания склона, равно \(\Pi_2 - \Pi_1 = -mgH\), приращение кинетической энергии \(K_2 - K_1 = 0\). Сумма работ сил трения скольжения \[A_{12} = -\mu_1 mg\cos\alpha\cdot\frac{H-h}{\sin\alpha} - \mu_2 mg\cos\alpha\cdot\frac{h}{\sin\alpha} = -\frac{mg}{\mathrm{tg}\,\alpha}\left(\mu_1 H + (\mu_2-\mu_1)h\right),\] здесь \(h\) — высота, на которой находится граница участков. По теореме об изменении полной механической энергии \[-mgH = -\frac{mg}{\mathrm{tg}\,\alpha}\left(\mu_1 H + (\mu_2-\mu_1)h\right).\] Отсюда \[h = \frac{\mathrm{tg}\,\alpha - \mu_1}{\mu_2-\mu_1}\,H.\] Длина участка разгона \[S_1 = \frac{H-h}{\sin\alpha} = \frac{\mu_2-\mathrm{tg}\,\alpha}{\sin\alpha\,(\mu_2-\mu_1)}\,H,\] ускорение на участке разгона \(a = g\left(\sin\alpha - \mu_1\cos\alpha\right)\). Искомая скорость \[V_{MAX} = \sqrt{2aS_1} = \sqrt{2g\left(\sin\alpha - \mu_1\cos\alpha\right)\, \frac{\mu_2-\mathrm{tg}\,\alpha}{\sin\alpha\,(\mu_2-\mu_1)}\,H}.\]