Два ползуна \(A\) и \(B\) массой \(m\) и \(2m\) соответственно (см. рисунок), связанные шарнирно прикреплённым к ним невесомым стержнем, могут двигаться без трения по вертикальным и горизонтальным направляющим. Ползуны удерживают так, что угол между стержнем и горизонтом равен \(\alpha\), а потом отпускают. Найти их ускорения в момент начала движения. Ползуном называется точечное массивное тело, которое может двигаться по некоторой поверхности или в некоторых направляющих.

1) \(a_A = \dfrac{g\cos^2\alpha}{1+\sin^2\alpha}\); 2) \(a_B = \dfrac{g\sin\alpha\cos\alpha}{1+\sin^2\alpha}\).

Два ползуна на стержне — ИОШ 2023/24, 9 кл., задача 6

Два ползуна на стержне
ИОШ 2023/24, 9 кл.
5/10
Два ползуна \(A\) и \(B\) массой \(m\) и \(2m\) соответственно (см. рисунок), связанные шарнирно прикреплённым к ним невесомым стержнем, могут двигаться без трения по вертикальным и горизонтальным направляющим. Ползуны удерживают так, что угол между стержнем и горизонтом равен \(\alpha\), а потом отпускают. Найти их ускорения в момент начала движения. Ползуном называется точечное массивное тело, которое может двигаться по некоторой поверхности или в некоторых направляющих.

▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Запишите второй закон Ньютона для каждого ползуна в проекциях. Стержень нерастяжим, поэтому проекции скоростей его концов на стержень равны — это даёт связь между ускорениями.
Ответ
1) \(a_A = \dfrac{g\cos^2\alpha}{1+\sin^2\alpha}\); 2) \(a_B = \dfrac{g\sin\alpha\cos\alpha}{1+\sin^2\alpha}\).
Решение
Силы, действующие на ползуны, — силы тяжести \(mg\) и \(2mg\), силы реакции направляющих \(\vec N_A\) и \(\vec N_B\), перпендикулярные направляющим (они гладкие), и силы \(\vec T_A\) и \(\vec T_B\) со стороны стержня, которые могут быть направлены только вдоль стержня (стержень не имеет массы).

Второй закон Ньютона для ползунов в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси даёт \[m a_A = mg - T\sin\alpha, \qquad 2m a_B = T\cos\alpha,\] где учтено, что модули сил натяжения стержня, действующих на ползуны, одинаковы. Поскольку стержень нерастяжим, проекции скоростей концов на стержень равны друг другу: \(v_A\sin\alpha = v_B\cos\alpha\). Значит, в любой момент времени \[v_B = v_A\,\text{tg}\,\alpha,\] и в самый первый момент после отпускания ползунов \[a_B = a_A\,\text{tg}\,\alpha.\] Решая систему уравнений, получим \[a_A = \frac{g\cos^2\alpha}{1+\sin^2\alpha}, \qquad a_B = \frac{g\sin\alpha\cos\alpha}{1+\sin^2\alpha}.\]
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Два ползуна на стержне

Два ползуна на стержне

Похожие задачи