Плотность нефти

Запишите условие плавания стаканчика в обоих случаях; во втором давление на уровне дна складывается из давления нефти и воды.

Условие равновесия в первом случае запишется как \(mg = F_A\), где сила Архимеда \(F_A = \rho_1 g(d-a)S\). Отсюда найдём: \[\frac{m}{S} = \rho_1(d-a).\] Во втором случае давление на уровне дна составит \(p = \rho_1 g d + \rho_0 g a\). Следовательно, условие равновесия запишется как \[\bigl(m + \rho_1 S(d+a)\bigr)g = pS = (\rho_1 d + \rho_0 a)gS,\] откуда, используя (1), найдём \(\rho_1 = (a/d)\rho_0\). Подставим это выражение в (1): \[\frac{m}{S} = \rho_0\,\frac{a}{d}(d-a) \quad\text{или}\quad x^2 - x + \frac{m}{\rho_0 dS} = 0,\] где \(x = a/d\). Решая уравнение, получим два корня: \[x_{1,2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{m}{\rho_0 dS}} = \frac{1}{2} \pm \frac{3}{10} \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1}{5}\ \text{или}\ \frac{4}{5}.\] Таким образом, найдём два возможных значения для плотности нефти: \(\rho_1 = \rho_0 x = 0{,}2\) г/см\(^3\) или \(0{,}8\) г/см\(^3\). Исходя из того, что \(a/d > 1/2\), получим окончательно \(\rho_1 = 0{,}8\) г/см\(^3\).