Двойной конус на дощечках

Сравните, как при смещении точки касания по доске меняется высота центра тяжести конусов: за счёт подъёма самой доски и за счёт смещения точки касания вдоль оси конусов. Равновесие соответствует равенству этих изменений.

Пусть точка касания конусов и дощечек переместилась вверх на расстояние \(x\) по дощечкам (красный отрезок на рисунке). Тогда точка касания поднялась над землёй на высоту \(\Delta h_1 = x\sin\beta\), где \(\beta\) — угол подъёма дощечек. С другой стороны, перемещение точки касания на расстояние \(x\) по дощечкам приводит к перемещению оси конусов на расстояние \[\Delta x_1 = x\cos\beta\cos\alpha\] (зелёный отрезок), где \(\alpha\) — угол полураствора дощечек. С третьей стороны, перемещение оси конусов на расстояние \(\Delta x_1\) приводит к перемещению точки касания конусов и дощечек по оси конусов на \[\Delta y = \Delta x_1\operatorname{tg}\alpha = x\cos\beta\sin\alpha,\] что приводит к опусканию точки касания на величину \[\Delta z = \Delta y\operatorname{tg}\gamma = x\cos\beta\sin\alpha\operatorname{tg}\gamma.\] Таким образом, центр тяжести конусов останется на той же высоте над землёй, если выполнено условие \(\Delta h_1 = \Delta z\), т. е. \[x\sin\beta = x\cos\beta\sin\alpha\operatorname{tg}\gamma \quad\Leftrightarrow\quad \operatorname{tg}\beta = \sin\alpha\,\operatorname{tg}\gamma.\] При выполнении этого равенства центр тяжести конусов остаётся на одной высоте при их перемещении по дощечкам, и конусы находятся в положении безразличного равновесия — в любом положении.

Если \(\operatorname{tg}\beta < \sin\alpha\,\operatorname{tg}\gamma\), то перемещение конусов по дощечкам вверх приводит к понижению их центра тяжести, и конусы движутся вверх. Если выполнено обратное неравенство \(\operatorname{tg}\beta > \sin\alpha\,\operatorname{tg}\gamma\), то перемещение вверх приводит к подъёму центра тяжести, и конусы спускаются вниз.