Резиновое кольцо на трёх цилиндрах

Разбейте растянутое кольцо на прямолинейные участки между цилиндрами и участки, охватывающие цилиндры. Какой суммарной длины получаются эти участки?

Найдём удлинение кольца. Его длина складывается из трёх участков длиной \(2R\) между цилиндрами (на рисунке показаны красным) и трёх участков, касающихся цилиндров (зелёный). Поскольку последние опираются на угол, составляющий треть полного угла, их суммарная длина равна \(2\pi R\). Поэтому длина растянутого кольца равна \[L = 6R + 2\pi R = 2R\,(3+\pi).\] Длина недеформированного кольца \(7R\), значит, удлинение составляет \[\Delta l = (2\pi R + 6R) - 7R = (2\pi-1)R,\] и сила натяжения кольца по закону Гука \[F = k\,\Delta l = k(2\pi-1)R.\] Силы взаимодействия цилиндров \(N\) направлены так же, как силы натяжения кольца, поэтому они равны силе натяжения кольца: \[N = F = (2\pi-1)\,kR \approx 5{,}28\,kR.\]