Нагрев воды в коническом сосуде

Сначала сравните, как меняется гидростатическое давление у дна при нагревании воды в цилиндрическом сосуде, где уровень растёт именно так, чтобы давление не менялось. Затем выясните, как изменится давление в перевёрнутом конусе.

Изменением размеров сосуда при нагревании можно пренебречь, так как коэффициент теплового расширения стекла много меньше коэффициента теплового расширения воды.

Сначала рассмотрим нагревание воды в цилиндрическом сосуде. Пусть объём воды увеличился в \(n\) раз: \(V \to nV\). Площадь сечения сосуда не меняется, поэтому высота столба воды тоже увеличивается в \(n\) раз: \(h \to nh\). С другой стороны, масса воды не меняется, а объём увеличился в \(n\) раз, значит, плотность уменьшилась в \(n\) раз: \(\rho \to \rho/n\). Гидростатическое давление \(p = \rho g h\) при этом не меняется: \[p' = \frac{\rho}{n}\,g\,nh = \rho g h = p.\] Следовательно, если бы нагреваемый сосуд был цилиндрическим, уровень воды во втором колене не изменился бы.

В сосуде, представляющем собой перевёрнутый конус, давление воды уменьшается при нагревании. Плотность воды уменьшается так же, как и в цилиндрическом сосуде, а рост высоты столба воды в расширяющемся сосуде меньше, чем в цилиндрическом (вода поднимается в нём меньше, так как сечение растёт кверху). Поэтому давление у дна нагреваемого колена уменьшается, и вода во втором (ненагреваемом) сосуде опускается.

Если бы сосуд был сужающимся кверху (например, неперевёрнутый конус), ситуация была бы обратной: уровень воды в нём рос бы быстрее, чем убывала бы плотность, давление увеличивалось бы, и уровень воды в другом колене повысился бы.