Нагрев с теплоёмкостью C(T)

Запишите первое начало термодинамики для малого нагрева через \(C\) и \(C_V = \tfrac{3}{2}R\): работа на малом участке выражается через изменение \(T^2\), а суммарная работа за процесс равна нулю.

Для малого нагрева на \(\Delta T\) первое начало: \(\nu C\,\Delta T = \nu C_V\,\Delta T + \Delta A\), то есть \(\nu(C - C_V)\,\Delta T = \Delta A\). Подставляя \(C = R\dfrac{T}{T_0}\) и \(C_V = \dfrac{3}{2}R\): \[\nu R\,\frac{T}{T_0}\,\Delta T = \nu\,\frac{3}{2}R\,\Delta T + \Delta A, \qquad \nu R\,\frac{1}{2T_0}\,\Delta\!\left(T^2\right) = \nu\,\frac{3}{2}R\,\Delta T + \Delta A.\]

1) Суммируем по всему процессу от \(T_0\) до \(T_1\). Полная работа равна нулю, \(\sum\Delta A = 0\), поэтому \(\dfrac{T_1^2 - T_0^2}{2T_0} = \dfrac{3}{2}\,(T_1 - T_0)\), откуда \(T_1 = 2T_0\).

2) В точке минимального объёма \(\Delta A = 0\), значит \(C = C_V\), то есть \(R\dfrac{T_2}{T_0} = \dfrac{3}{2}R\). Отсюда \(T_2 = \dfrac{3}{2}T_0\).