Гаечный ключ на космической станции

Перейдите в инерциальную систему, связанную с центром станции, — там ключ движется равномерно и прямолинейно. Время полёта найдите по радиусу, а условие встречи со вторым сотрудником — по целому числу оборотов станции.

\(v_0=\sqrt{gR\Bigl(1+\dfrac{1}{\pi^2n^2}\Bigr)}\), где \(n\) — ненулевое целое число.

Второй закон Ньютона для тела на поверхности станции: \(\dfrac{mu^2}{R}=mg\), откуда скорость точки поверхности \(u=\sqrt{Rg}\).

В инерциальной системе отсчёта, связанной с центром станции, на гаечный ключ после броска никакие силы не действуют, он движется прямолинейно и равномерно. В этой системе скорость ключа \(v\) складывается из искомой скорости \(v_0\) броска относительно сотрудника, вращающегося вместе со станцией, и скорости \(u\) точки поверхности станции, направленной по касательной к экватору. По теореме Пифагора $$v_0^2=v^2+u^2.$$ Время полёта ключа через центр станции \(t=\dfrac{2R}{v}\).

За это время второй сотрудник должен вернуться в первоначальную точку, то есть совершить целое число оборотов \(n=1,2,3,\dots\): $$ut=2\pi Rn.$$ Отсюда скорость ключа в лабораторной системе отсчёта \(v=\dfrac{u}{\pi n}=\dfrac{\sqrt{gR}}{\pi n}\), и $$v_0=\sqrt{gR\Bigl(1+\frac{1}{\pi^2n^2}\Bigr)},$$ где \(n\) — ненулевое целое число.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.