Булавка на столе

Пока шарик движется по окружности, найдите силу в стержне по закону сохранения энергии и уравнению Ньютона. Проскальзывания нет, пока горизонтальная составляющая силы в стержне не превосходит \(\mu N\). Отрыв — когда сила в стержне обращается в нуль.

\(\mu=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\).

Пусть стержень образует угол \(\alpha\) с вертикалью, а его длина равна \(R\). Шарик движется по окружности, пока кончик булавки не начнёт скользить вдоль поверхности стола. Обозначим силу, действующую на шарик со стороны стержня, \(F\).

Уравнение Ньютона при движении по окружности: $$\frac{mV^2}{R}=mg\cos\alpha-F.  (1)$$ Закон сохранения энергии: $$mgR(1-\cos\alpha)=\frac{mV^2}{2} \Rightarrow mV^2=2mgR(1-\cos\alpha).  (2)$$ Из (1) и (2): $$F=mg(3\cos\alpha-2).  (3)$$

Стержень невесомый, поэтому сумма сил, действующих на него, равна нулю: \(N=F\cos\alpha\), \(F\sin\alpha=F_{\text{тр}}\). Скольжения нет, пока $$F\sin\alpha=F_{тр}\le\mu N=\mu F\cos\alpha \Rightarrow \mu\ge\operatorname{tg}\alpha.$$

Сила \(F=mg(3\cos\alpha-2)\) уменьшается с ростом угла \(\alpha\) и обращается в нуль при \(\cos\alpha=\dfrac{2}{3}\). Вслед за этим моментом конец стержня отрывается от поверхности стола.

При этом $$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt5}{3} \Rightarrow \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt5}{2}=\mu.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.