Самодельные вольтметры

При подключении как прибора Алисы, так и прибора Василисы к контактам 1 и 3 схемы ток, текущий через прибор, будет равен \(I = U/R\), где \(R\) — сопротивление данного прибора. Поэтому вне зависимости от величины \(R\) стрелка на шкале самодельного вольтметра будет показывать величину \(IR = U\), то есть напряжение батарейки. Следовательно, приборы Алисы и Василисы при подключении к клеммам 1 и 3 покажут одинаковые значения напряжения \(V_{13} = U_{13} = 4{,}5\) В.

Выясним теперь, как зависят показания \(U_{12}\) и \(U_{23}\) самодельных приборов от величин сопротивлений \(R_1\) (для прибора Алисы) или \(R_2\) (для прибора Василисы). Пусть прибор подключён к контактам 1 и 2 испытательной схемы (см. рис. 3.58).

Обозначим через \(R_x\) и \(R_y\) сопротивления резисторов, включённых между контактами 1–2 и 2–3. Тогда в случае подключения прибора Алисы ток, текущий через резистор \(R_1\), будет равен \(I_1 = U_{12}/R_1\), а ток, текущий через резистор \(R_x\), будет равен \(I_x = U_{12}/R_x\). Поэтому ток, текущий через резистор \(R_y\), равен \[I_y = I_1 + I_x = U_{12}\left(\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_x}\right),\] а напряжение батарейки равно: \[U_{13} = U_{12} + I_yR_y = U_{12}R_y\left(\dfrac{1}{R_y} + \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_x}\right).\] Отсюда \[U_{12} = \dfrac{U_{13}}{R_y\left(\dfrac{1}{R_y} + \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_x}\right)}.\] Рассуждая аналогично, можно получить выражение для напряжения \(U_{23}\) в случае подключения приборов к контактам 2 и 3: \[U_{23} = \dfrac{U_{13}}{R_x\left(\dfrac{1}{R_y} + \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_x}\right)}.\] По условию задачи \(U_{12} = U_{23}\). Следовательно, \(R_x = R_y\). С учётом этого получаем: \[U_{12} = \dfrac{U_{13}}{2 + \dfrac{R_x}{R_1}},\] откуда \[R_x = R_y = \left(\dfrac{U_{13}}{U_{12}} - 2\right)R_1 = 0{,}5\text{ кОм}.\] Теперь для того, чтобы найти показания прибора Василисы \(V_{12}\) и \(V_{23}\) при подключении к клеммам 1–2 и 2–3, нужно в выражениях для \(U_{12}\) и \(U_{23}\) заменить \(R_1\) на \(R_2\). С учётом равенства величин \(R_x\) и \(R_y\) получаем: \[V_{12} = V_{23} = \dfrac{U_{13}}{2 + \dfrac{R_x}{R_2}} = \dfrac{4{,}5\text{ В}}{2 + \dfrac{0{,}5}{2}} = 2\text{ В}.\]