Шайба между дугообразными стенками

Предположим, что удары о стенки происходят гораздо чаще, чем пересечения шайбой оси \(y\), и что движение вдоль оси \(x\) ограничено в узкой области вблизи начала координат (затем убедимся в верности этого предположения). Тогда время пролета от стенки до стенки \(\Delta t \simeq \dfrac{2h}{v}\) будет почти постоянным. Изменение проекции скорости на ось \(x\) за один удар \(\Delta v_x = -2\dfrac xR\,v\). Здесь \(x\) — абсцисса шайбы. \(a_x \simeq \dfrac{\Delta v_x}{\Delta t} = -\dfrac{v^2}{Rh}\,x\). С учетом того, что \(a_x = \ddot x\), можем записать \(\ddot x = -\dfrac{xv^2}{Rh}\). Имеем дифференциальное уравнение гармонических колебаний величины \(x\): \[\ddot x + \dfrac{v^2}{Rh}\,x = 0.\] Период колебаний величины \(x\) равен \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{Rh}{v^2}}\), а искомое время \(\tau = \dfrac{\pi\sqrt{Rh}}{v}\).

Заметим, что \(\dfrac{\tau}{\Delta t} = \dfrac\pi2\sqrt{\dfrac Rh} \gg 1\), амплитуда \(A\) колебаний вдоль оси \(x\) равна \(A = \alpha\sqrt{Rh} \ll OC = \sqrt{2Rh}\). Это значит, что высказанные выше предположения верны.