Горящая свеча на резинке

Сила упругости появляется тогда, когда резинка становится натянутой, то есть когда сумма длины погружённой части свечи и длины резинки достигает уровня воды. Сначала найдите, при каком времени это произойдёт.

Запишем условие равновесия свечи: \(mg + F_{\text{упр}} = F_{\text{арх}}\). Сила упругости начинает действовать, когда резинка начинает натягиваться. Пусть \(h\) — длина погружённой в воду части свечи, а \(c\) — скорость сгорания свечи в см/мин. До натяжения резинки \[\rho_c a^2 l g = \rho_{\text{в}} a^2 h g, \qquad h(t) = \dfrac{\rho_c}{\rho_{\text{в}}}\, l(t), \qquad l(t) = l_0 - c t.\] Тогда \(h(t) = -c\dfrac{\rho_c}{\rho_{\text{в}}}\,t + l_0\dfrac{\rho_c}{\rho_{\text{в}}}\). Эта зависимость верна, пока \(h + L > H\). Момент, когда резинка начнёт натягиваться, находится из условия \(H = L - c\dfrac{\rho_c}{\rho_{\text{в}}}\,t + l_0\dfrac{\rho_c}{\rho_{\text{в}}}\): \[t_1 = \Bigl(-H + L + l_0\dfrac{\rho_c}{\rho_{\text{в}}}\Bigr)\dfrac{\rho_{\text{в}}}{c\,\rho_c}.\] Подставляя числа, находим \(t_1 = 10/9\) мин. При этом \(l_1 = l(t_1) = \dfrac{80}{9}\) см, \(h_1 = h(t_1) = 4\) см.

Растяжение резинки связано с \(h\) соотношением \(\Delta(t) = H - h(t) - L\). Условие равновесия с учётом силы упругости: \[k\bigl(H - h(t) - L\bigr) + \rho_c a^2 l(t) g = \rho_{\text{в}} a^2 h(t) g.\] Отсюда \[h(t) = \dfrac{k(H - L) + \rho_c a^2 l_1 g}{\rho_{\text{в}} a^2 g + k} - \dfrac{\rho_c a^2 c\,t}{\rho_{\text{в}} a^2 g + k}\] (отсчёт времени от момента \(t_1\)). Возможны два случая: свеча погасла, не догорев до конца, так что \(h(t_2) = l(t_2) > 0\), либо свеча полностью прогорела, \(h(t_2) = l(t_2) = 0\). Рассмотрим первый случай. Из равенства \(h(t_2) = l(t_2)\) получаем \[t_2 \approx 6{,}1\text{ мин}, \qquad l_2 = l_1 - 6{,}1 = 2{,}8\text{ см}.\] Итак, реализуется случай, когда свеча погаснет, не догорев.