Груз с массивной пружиной

Ускорение системы найдите по второму закону Ньютона для всей системы. Пружину разбейте на малые части: каждая часть испытывает свою силу упругости, зависящую от того, сколько витков приложено к её концу.

Обозначим массу груза и массу пружины \(m\). Тогда ускорение системы \(a = \dfrac{F_1 - F_2}{2m}\). Разобьём пружину на большое количество \(N\) одинаковых маленьких кусочков (например, один кусочек пружины — один виток), жёсткость каждого такого кусочка равна \(kN\). Пронумеруем кусочки \(i = 1, 2, \ldots, N\), начиная с конца пружины, к которому приложена сила \(F_1\). Пусть \(T_i\) — сила упругости, действующая на \(i\) кусочков. Тогда \[F_1 - T_i = \frac{mi}{N} a = \frac{(F_1 - F_2)}{2N} i, \quad \Rightarrow \quad T_i = F_1 - \frac{(F_1 - F_2)}{2N} i.\] Растяжение пружины \(x = \sum_{i=1}^{N} x_i = \sum_{i=1}^{N} \dfrac{T_i}{kN}\), откуда \[x = \sum_{i=1}^{N} \frac{F_1}{kN} - \sum_{i=1}^{N} \frac{(F_1 - F_2)}{2kN^2} i.\] Воспользуемся тем, что \(\sum_{i=1}^{N} i = \dfrac{N(N+1)}{2} \approx \dfrac{N^2}{2}\) при \(N \gg 1\). Тогда \[x = \frac{3F_1 + F_2}{4k} = 0{,}035~\text{м} = 3{,}5~\text{см}.\]