Задачи › Сила упругости, пружины и их соединения

Блоки, пружина и жгуты

  1. Блоки, пружина и жгуты

    СПбГУ 2022/23, 9 кл.
    6/10

    Система состоит из двух невесомых блоков: нижний закреплен на нерастяжимом стержне, а верхний — на пружине жесткостью \(k_1\), к нему на невесомой нерастяжимой нити подвешен груз массой \(m\). Через блоки перекинуты два невесомых упругих жгута с жесткостями \(k_2\) и \(k_3\) (\(k_2 > k_3\)), связанные невесомой нерастяжимой нитью. Связка нить-жгуты может скользить по блокам без трения. Концы пружины и жгутов прочно прикреплены к двум параллельным горизонтальным плоскостям (см. рис.). В начальный момент времени жгуты не растянуты. Плоскости развели, увеличив расстояние между ними на \(\Delta H\). Найдите, на сколько удлинилась пружина и жгуты по сравнению с начальным состоянием. Геометрическими размерами блоков можно пренебречь.

    Рисунок

    Вариант 2: блоки массивные (масса каждого блока учитывается), верхний блок закреплен на стержне, нижний — на пружине. Ответ для варианта 2 тот же, что и для варианта 1.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Запишите условие равновесия верхнего блока до раздвижения и после него и вычтите одно из другого. Отсутствие трения между жгутом и блоком связывает удлинения жгутов между собой.

    Ответ

    Пружина: \(\Delta x_1 = \dfrac{6\,\Delta H}{4+\dfrac{k_1}{k_2}+\dfrac{k_1}{k_3}}\);  жгут \(k_2\): \(\Delta x_2 = \dfrac{3\,\Delta H}{4\dfrac{k_2}{k_1}+\dfrac{k_2}{k_3}+1}\);  жгут \(k_3\): \(\Delta x_3 = \dfrac{3\,\Delta H}{4\dfrac{k_3}{k_1}+\dfrac{k_3}{k_2}+1}\).

    Решение

    Обозначим удлинения: \(\Delta x_1\) — пружины, \(\Delta x_2\) и \(\Delta x_3\) — жгутов. Условие равновесия верхнего блока в начальном состоянии \(k_1\Delta x_0 = mg\); после раздвижения вычитание даёт \(k_1\Delta x_1 - 2k_3\Delta x_3 = 0\). Отсутствие трения между жгутом и блоком даёт \(k_2\Delta x_2 = k_3\Delta x_3\).

    Расстояние между плоскостями складывается из длины стержня, расстояния между блоками и длины пружины, поэтому \(\Delta H = \Delta x_1 + \Delta y\), где \(\Delta y\) — изменение расстояния между блоками. Длина нити с жгутами даёт \(\Delta x_2 + \Delta x_3 = 3\Delta y + \Delta x_1\). Исключая \(\Delta y\), получаем \[\Delta H = \Delta x_1 + \frac{\Delta x_2 + \Delta x_3 - \Delta x_1}{3}.\] Решая систему трёх уравнений, получаем ответы выше.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх