Задачи › Сила упругости, пружины и их соединения

Шайба на штанге с эластичным жгутом

  1. Шайба на штанге с эластичным жгутом

    СПбГУ 2022/23, 9 кл.
    6/10

    На рисунке изображена конструкция, состоящая из жёсткой штанги, на которую насажены цилиндрическая массивная шайба и невесомая пружина жесткостью \(k_1\). Шайба способна двигаться по штанге без трения. Пружина одним концом присоединена к шайбе, другим — к полу. Шайба соединена с полом ещё и эластичным невесомым жгутом жесткостью \(k_2\). Жгут изначально не растянут. Расстояние от пола до шайбы \(H_0\). Жгут оттягивают за середину в горизонтальном направлении с некоторой силой \(F\) так, как показано на рисунке, в результате чего шайба опустилась. Определите величину этой силы, если известно, что длина жгута в результате натяжения увеличилась в \(\beta\) раз.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Удлинение жгута выражается через \(H_0\) и \(\beta\). Сила натяжения жгута вдоль него раскладывается на вертикальную и горизонтальную составляющие; вертикальная уравновешивается изменением сжатия пружины.

    Ответ

    \(F = 2k_2H_0\left(1-\dfrac{1}{\beta}\right)\sqrt{\beta^2-\left(\dfrac{1}{1+\dfrac{k_2}{k_1}\left(1-\dfrac{1}{\beta}\right)}\right)^2}\).

    Решение

    Жгут удлинился на \(\Delta l = H_0(\beta-1)\), сила натяжения \(T = k_2H_0(\beta-1)\). Вертикальная проекция натяжения уравновешивается дополнительным сжатием пружины: \(k_1\Delta H = T\sin\alpha\), где \(\alpha\) — угол жгута с горизонталью. Из прямоугольного треугольника, гипотенуза которого — половина жгута, а катет — половина высоты, \(\sin\alpha = \dfrac{H_0-\Delta H}{H_0\beta}\). Отсюда \[\Delta H = \frac{H_0 k_2(\beta-1)}{\beta k_1 + k_2(\beta-1)}, \qquad \sin\alpha = \frac{1}{\beta}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{k_2}{k_1}\left(1-\dfrac{1}{\beta}\right)}.\] Сила \(F = 2T\cos\alpha\), и после подстановки получаем ответ.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх