Задачи › Качение без проскальзывания

Малое кольцо между двумя вращающимися кольцами

  1. Малое кольцо между двумя вращающимися кольцами

    СПбГУ 2022/23, 9 кл.
    6/10

    Система из трёх колец закреплена так, как показано на рисунке. Внутреннее кольцо радиусом \(R_1\) вращается вокруг своей оси с частотой \(\omega_1\), внешнее кольцо радиусом \(R_2\) — с частотой \(\omega_2 > \omega_1\) в том же направлении. Между кольцами \(R_1\) и \(R_2\) зажато малое кольцо радиусом \(r\) так, что при вращении колец оно движется без проскальзывания. Определите:

    1. время, за которое ось малого кольца совершит полный оборот вокруг оси колец \(R_1\) и \(R_2\);

    2. частоту обращения малого кольца вокруг своей оси в системе отсчёта, в которой внутреннее кольцо неподвижно.

    Рисунок

    Вариант 2: внешнее кольцо вращается с частотой \(\omega_2 < \omega_1\) в противоположном направлении.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    В системе, где внутреннее кольцо неподвижно, внешнее вращается с частотой \(\omega_2 - \omega_1\); скорость центра малого кольца равна половине скорости точки его касания с внешним кольцом.

    Ответ

    1) \(t = \dfrac{2\pi(R_1+R_2)}{\omega_2R_2+\omega_1R_1}\);  2) \(\omega' = \dfrac{(\omega_2-\omega_1)R_2}{R_2-R_1}\) (угловая скорость вращения малого кольца вокруг своей оси).

    Решение

    Радиус малого кольца \(r = \dfrac{R_2-R_1}{2}\), его центр на расстоянии \(\dfrac{R_1+R_2}{2}\) от оси.

    В системе, где внутреннее кольцо неподвижно, внешнее вращается с \(\omega' = \omega_2-\omega_1\); точка касания с внешним кольцом движется со скоростью \(v' = \omega' R_2\), центр малого кольца — со скоростью \(v_0' = v'/2\). Без проскальзывания по неподвижному внутреннему кольцу угловая скорость малого кольца вокруг своей оси \(\omega' = v_0'/r = \dfrac{(\omega_2-\omega_1)R_2}{R_2-R_1}\).

    Возвращаясь в исходную систему, находим скорость центра малого кольца \(v_0 = \dfrac{(\omega_2-\omega_1)R_2}{2} + \omega_1\dfrac{R_1+R_2}{2} = \dfrac{\omega_2R_2+\omega_1R_1}{2}\). Время одного оборота вокруг оси колец \(t = \dfrac{2\pi\,(R_1+R_2)/2}{v_0} = \dfrac{2\pi(R_1+R_2)}{\omega_2R_2+\omega_1R_1}\).

    Для варианта 2 (вращение в противоположных направлениях) аналогично получаем \(t = \dfrac{2\pi(R_1+R_2)}{\omega_2R_2-\omega_1R_1}\) и \(\omega' = \dfrac{(\omega_2+\omega_1)R_2}{R_2-R_1}\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх