Теорема Насира ад-Туси

Сравните длину полуокружности диска и длину четверти окружности внутренней поверхности цилиндра; из этого следует связь между угловой скоростью диска вокруг своей оси и его движением вокруг оси цилиндра.

Если центр диска вращается без проскальзывания по внутренней поверхности цилиндра вдвое большего радиуса, то диск вращается вокруг своей оси с той же угловой скоростью, но в противоположном направлении. Действительно, длина полуокружности диска и длина четверти окружности внутренней поверхности цилиндра совпадают, поэтому при повороте центра диска на четверть оборота вокруг оси цилиндра точка А совершает ровно четверть оборота вокруг оси диска и оказывается в центре полости, то есть на оси цилиндра.

Координаты центра диска: \(x_c=\dfrac{R}{2}\cos\omega t\), \(y_c=-\dfrac{R}{2}\sin\omega t\). Координаты точки А относительно центра диска: \(x'_A=\dfrac{R}{2}\cos\omega t\), \(y'_A=\dfrac{R}{2}\sin\omega t\). Тогда \[x_A=x_c+x'_A=R\cos\omega t,\qquad y_A=y_c+y'_A=0.\] Точка А движется вдоль горизонтальной прямой, проходящей через ось цилиндра, по гармоническому закону. Её скорость \[v_A(t)=R\omega\left|\sin\omega t\right|.\]