Задачи › Количество теплоты, уравнение теплового баланса

Теплоёмкость, зависящая от температуры

  1. Теплоёмкость, зависящая от температуры

    ИОШ 2018/19, 11 кл.
    5/10

    Работая в секретной военной лаборатории Чебурашка и крокодил Гена синтезировали необычный материал. Его удельная теплоёмкость \(c\) зависит от температуры \(t\) в шкале Цельсия по закону: \(c(t)=c_0\left(1+\gamma t\right)\), где \(c_0=2{,}1\cdot10^3\) Дж/(кг\(\cdot\)град) и \(\gamma=0{,}05\) град\(^{-1}\) — известные постоянные. Образец данного материала массой \(m=0{,}5\) кг и начальной температурой \(t_0=0^\circ\)C бросают в воду массой \(2m\) и температурой \(t_1=45^\circ\)C. Какая установится температура? Удельная теплоёмкость воды \(c=2c_0=4{,}2\cdot10^3\) Дж/(кг\(\cdot\)град), потерями тепла пренебречь.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Разбейте интервал температур образца на малые части, на каждой из которых теплоёмкость можно считать постоянной, и запишите тепловой баланс.

    Ответ

    \(t_x\approx31{,}2^\circ\)C.

    Решение

    Пусть установившаяся температура равна \(t_x\). Вода отдаёт тепло \(Q=2mc\left(t_1-t_x\right)=4mc_0\left(t_1-t_x\right)\). Это тепло получает образец с переменной теплоёмкостью. Разобьём интервал \(0\div t_x\) на малые интервалы \(\Delta t_i\), на каждом из которых теплоёмкость постоянна: \[Q=\sum_i mc(t_i)\Delta t_i=mc_0\left(\sum_i\Delta t_i+\gamma\sum_i t_i\Delta t_i\right).\] Первая сумма равна \(t_x\), вторая (вычисляемая графически, как работа силы упругости) равна \(\dfrac{1}{2}t_x^2\). Отсюда \[\gamma t_x^2+10t_x-8t_1=0,\qquad t_x=\frac{-10+\sqrt{100+32\gamma t_1}}{2\gamma}\approx31{,}2^\circ\text{C}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх