Задачи › Масса и плотность

Расширяющееся облако пыли

  1. Расширяющееся облако пыли

    ИОШ 2018/19, 11 кл.
    5/10

    Инженеры-взрывотехники, изучая взрыв экспериментального субъядерного заряда, установили, что сразу после взрыва заряд превращается в шарообразное однородное облако мельчайшей пыли радиуса \(R\) и плотности \(\rho_0\). Начальная скорость \(v\) каждой пылинки облака направлена от его центра и пропорциональна расстоянию \(r\) от неё до центра облака: \(v=Hr\), где \(H\) — известный коэффициент. Считая, что в дальнейшем скорости пылинок не меняются, определите плотность пыли на расстоянии \(R/4\) от центра облака через время \(t\) после взрыва.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Покажите, что слой пылинок, находившихся в начальный момент между радиусами \(r_1\) и \(r_2\), через время \(t\) занимает слой между \(r_1(1+Ht)\) и \(r_2(1+Ht)\).

    Ответ

    \(\rho(t)=\dfrac{\rho_0}{(1+Ht)^3}\) при \(r<R(1+Ht)\) и \(\rho=0\) при \(r>R(1+Ht)\); на расстоянии \(R/4\) от центра плотность равна \(\dfrac{\rho_0}{(1+Ht)^3}\).

    Решение

    Облако остаётся однородным. Рассмотрим пылинки, которые в начальный момент находились на расстояниях от \(r_1\) до \(r_2\) от центра; их масса \(m=\rho_0\cdot\frac{4}{3}\pi\left(r_2^3-r_1^3\right)\). Через время \(t\) эти пылинки окажутся между радиусами \(r_1(1+Ht)\) и \(r_2(1+Ht)\): пылинки, которые были дальше \(r_2\), имеют большие скорости и в этот слой не попадают, а пылинки ближе \(r_1\) отстают. Поэтому плотность в этом слое \[\rho(t)=\frac{m}{V}=\frac{\rho_0\cdot\frac{4}{3}\pi\left(r_2^3-r_1^3\right)}{\frac{4}{3}\pi\left(r_2^3(1+Ht)^3-r_1^3(1+Ht)^3\right)}=\frac{\rho_0}{(1+Ht)^3}\] не зависит от \(r_1\) и \(r_2\), то есть облако остаётся однородным. Радиус облака через время \(t\) равен \(R(1+Ht)\), за его пределами пыли нет.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх