Квадрат 2×2 из резисторов

Используйте симметрию схемы относительно диагонали и то, что токи, текущие по участкам с одинаковыми цифрами, равны.

Выберем на схеме направление токов и отметим одинаковыми цифрами участки цепи, по которым текут равные токи, учитывая, что система симметрична относительно диагонали \(AB\) и сопротивление всех резисторов одинаково (см. рисунок). Если мы поменяем полярность, то направление всех токов изменится на противоположное, а абсолютное значение не изменится. Теперь повернём схему на \(180^\circ\) и увидим, что она совпала с исходной, значит \(I_1 = I_5\), \(I_2 = I_4\). Рассмотрим, чему равно падение напряжения между точками \(C\) и \(D\). Так как падение напряжения не зависит от пути, то обязательно \(I_2 = I_3\). Кроме того, из закона сохранения заряда известно, что сумма токов, которые втекают в некоторый узел, равна сумме токов, которые из него вытекают, значит \(I_2 = I_1/2\). Запишем, чему равно падение напряжения между точками \(A\) и \(B\), откуда найдём полное сопротивление цепи \(R_0\): \[U_{AB} = R_0 I_0 = 2R_0 I_1 ,\] \[U_{AB} = R I_1 + R I_2 + R I_2 + R I_1 = 3R I_1 .\] Получаем \(R_0 = 1{,}5R\).