Разметочная бригада на дорожной развязке

Времена на участках равны, поэтому отношение скоростей равно отношению путей. Сравните пути на участках по графику и найдите, какому виду траектории соответствует связь пути с наибольшим перемещением.

\(\dfrac{V_2}{V_1}=4\); траектория — две окружности, пересекающиеся хотя бы в одной точке, радиусы \(R_1=\dfrac{x}{2\pi}\) и \(R_2=\dfrac{2x}{\pi}\); вогнутых участков нет, оба участка замкнуты и начинаются в одной точке.

Первый участок пути равен \(x\), второй — \(5x-x=4x\). Так как времена на участках одинаковы, пути относятся как скорости: \(\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{4x}{x}=4\).

На каждом участке график монотонно возрастает до максимума и симметричен относительно него, значит, на пути к максимуму бригада всё время удаляется от начальной точки, и вогнутых участков у траектории нет. Перемещение равно нулю в начале и в конце каждого участка (график возвращается в точку \(0\) в конце первого участка и в начале второго), поэтому оба участка начинаются в одной точке и траектория замкнута.

Найдём соотношение между путём и наибольшим перемещением. По графику \(|\Delta r_{1\max}|=\dfrac{x}{\pi}\), \(|\Delta r_{2\max}|=\dfrac{4x}{\pi}\), поэтому $$S_1=x=\pi |\Delta r_{1\max}|,  S_2=4x=\pi |\Delta r_{2\max}|.$$ Такое соотношение выполняется только для окружности, значит, траектория на каждом участке — окружность. Радиусы: \(R_1=\dfrac{x}{2\pi}\), \(R_2=\dfrac{2x}{\pi}\); радиус второй окружности в 4 раза больше первой.

Дополнительно проверяется по отмеченным на графике точкам: после четверти и трёх четвертей пути по окружности перемещение равно \(|\Delta r|=\sqrt2\,R\) (теорема Пифагора), что совпадает с точками на графике.

Итог: траектория — две окружности с указанными радиусами, которые пересекаются хотя бы в одной точке. По графику взаимное расположение окружностей не определяется, поэтому подходит любой рисунок, на котором окружности пересекаются хотя бы в одной точке и подписаны их радиусы.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.