Три куба на нитях и блоках в жидкости

Центральный куб тянет нить с удвоенной силой, поэтому погружается сильнее крайних. Запишите равновесие каждого типа кубов при разной глубине погружения и найдите кинематическую связь между их перемещениями относительно дна.

\(t=\dfrac{3T_0}{2\rho_0\,g\,V\,a^2}\).

При повышении уровня жидкости центральный куб погружается сильнее крайних: к нему приложена удвоенная сила натяжения нити, которая растёт по мере погружения кубов на величину дополнительной выталкивающей силы.

Пусть \(\rho_1\) — плотность крайних кубов (одинаковых), \(\rho_2\) — плотность центрального, \(T\) — натяжение нити, \(x\) и \(y\) — глубины погружения крайнего и центрального кубов. Условия равновесия: $$T+\rho_1 g a^3=\rho_0 g a^2 x,  2T+\rho_2 g a^3=\rho_0 g a^2 y.$$ Отсюда связь между глубинами в любой момент: \(2(\rho_0 x-\rho_1 a)=\rho_0 y-\rho_2 a\).

Если крайний куб поднимается относительно дна со скоростью \(u\), то центральный опускается относительно дна с той же скоростью. Через время \(t\) глубина погружения крайнего куба меняется на \((V-u)t\), центрального — на \((V+u)t\), и новое условие равновесия даёт $$2\bigl(\rho_0(x+(V-u)t)-\rho_1 a\bigr)=\rho_0\bigl(y+(V+u)t\bigr)-\rho_2 a.$$ Вычитая исходную связь, получаем \(2(V-u)=V+u\), т.е. \(u=\dfrac{V}{3}\).

В искомый момент \(t_X\) натяжение равно \(2T_0=\rho_0 g a^2\left(\dfrac a2+(V-u)t_X\right)-\rho_1 g a^3=T_0+\rho_0 g a^2 (V-u)t_X\). Отсюда $$t_X=\frac{T_0}{\rho_0 g a^2 (V-u)}=\frac{3T_0}{2\rho_0 g V a^2}.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.