Стакан из двух цилиндров на воде

Условие равновесия стакана: сила тяжести равна силе Архимеда. Покажите, что при доливании воды погружённая часть пустого объёма стакана не меняется, и используйте это при максимальном заполнении.

Стакан в показанном положении находится в равновесии, значит сила тяжести стакана равна силе Архимеда: \[mg = \rho g V_{\text{п.ч.}},\] где \(m\) — масса стакана, \(\rho\) — плотность воды, \(V_{\text{п.ч.}}\) — объём погружённой части стакана. Обозначим радиус узкой части через \(r\), высоту каждой части через \(h\). Тогда \[V_{\text{п.ч.}} = \pi r^2h + \pi(2r)^2\frac{h}{2} = 3\pi r^2h, \quad\text{откуда}\quad m = 3\pi\rho r^2h.\] Когда в стакан наливают воду, условие равновесия стакана с водой даёт \[(m + M)g = \rho g V_{\text{п.ч.}} \quad\Rightarrow\quad mg = g\left(\rho V_{\text{п.ч.}} - M\right) = g\rho\left(V_{\text{п.ч.}} - V\right),\] где \(M\) — масса налитой воды, \(V\) — её объём. Разность \(V_{\text{п.ч.}}-V\) — объём погружённой части стакана, в которой нет воды. Из этой формулы следует, что объём незаполненной водой подводной части стакана определяется только массой самого стакана и не меняется при доливании.

При наливании максимального объёма стакан погружается по самые края. Тогда объём незаполненной части такой же, как объём погружённой части пустого стакана, т.е. \(3\pi r^2h\). Поэтому узкую часть можно заполнить полностью, а широкую — до высоты \(x\), при которой \[\pi(2r)^2(h - x) = 3\pi r^2h \quad\Rightarrow\quad x = \frac{h}{4}.\] Максимальный объём воды \[V_1 = \pi r^2h + \pi(2r)^2x = \pi r^2h + 4\pi r^2\frac{h}{4} = 2\pi r^2h.\] Поскольку объём стакана \(V = 5\pi r^2h\), то в стакан можно налить максимальный объём воды \[V_1 = \frac{2}{5}V.\]