Много вольтметров вместе с амперметром

Найдите, как суммарное показание вольтметров связано с током через них, и запишите закон Ома для цепей с одним и двумя вольтметрами. Затем рассмотрите предел большого числа вольтметров.

Если в проводник с током \(I\) включены последовательно \(n\) одинаковых вольтметров, то сумма их показаний равна произведению тока на сопротивление одного вольтметра. Действительно, через каждый вольтметр течёт ток \(I/n\), показание каждого равно \(U_1 = IR/n\) (\(R\) — сопротивление вольтметра), а сумма показаний \(nU_1 = IR\).

Для одного вольтметра (левый рисунок условия) по закону Ома для всей цепи \[I = \frac{U_0}{R + r} \quad\Rightarrow\quad U = IR = \frac{U_0R}{R + r} \qquad (*)\] (\(U_0\) — напряжение источника, \(r\) — сопротивление амперметра). Для двух вольтметров (правый рисунок условия) \[I = \frac{U_0}{(R/2) + r} = \frac{2U_0}{R + 2r} \quad\Rightarrow\quad \frac{12}{7}U = IR = \frac{2U_0R}{R + 2r} \qquad (**)\] Если включено очень много вольтметров \(n\), то сумма их показаний \[I = \frac{U_0}{(R/n) + r} = \frac{nU_0}{R + nr} \approx \frac{U_0}{r} \quad\Rightarrow\quad U_\Sigma = IR = \frac{U_0R}{r} \qquad (***)\] Чтобы найти величину \(U_0R/r\), «переворачиваем» формулы (*) и (**): \[\frac{1}{U} = \frac{1}{U_0} + \frac{r}{U_0R}, \qquad \frac{7}{12U} = \frac{1}{2U_0} + \frac{r}{U_0R}.\] Умножая первое уравнение на \(\tfrac{1}{2}\) и вычитая его из второго, получим \[\frac{r}{U_0R} = \frac{1}{6U}.\] Тогда из формулы (***) сумма показаний большого количества вольтметров равна \[U_\Sigma = 6U.\]