Стержни

Какие части стержней могут иметь одинаковую массу? Линейная плотность меняется линейно, а масса куска — это площадь под графиком плотности от координаты.

Пусть \(L\) — длина стержня, \(\rho(x)\) — линейная плотность (масса единицы длины) на расстоянии \(x\) от верхнего края. Так как плотность меняется равномерно, график \(\rho(x)\) — прямая, а масса куска между \(x_1\) и \(x_2\) равна площади под графиком. Нижняя половина одного стержня тяжелее любой трети другого, а верхняя треть легче любой половины, поэтому возможны два случая равенства масс.

Случай 1. Верхняя половина сравнивается со средней третью. Масса средней трети \(\rho_{ср}\,L/3 = 7\) г, а масса всего стержня \[M = \rho_{ср}\,L = 3\cdot 7~\text{г} = 21~\text{г}.\]

Случай 2. Верхняя половина сравнивается с нижней третью. На левом графике через \(m\) и \(k\) обозначены площади, отделённые пунктиром (см. рис.); площади на правом графике пересчитываются через них.

Масса нижней трети \(m + 5k\), масса верхней половины \(\dfrac{3}{2}m + \dfrac{9}{4}k\). Приравнивая, получаем \(k = \dfrac{2}{11}\,m\). Масса нижней трети \(m + \dfrac{10}{11}m = 7\) г, откуда \(m = \dfrac{11}{3}\) г. Тогда \[M = 3m + 9k = \frac{51}{11}\,m = 17~\text{г}.\]