Цепь с двумя батареями

1. До замыкания ключа \(K\) на конденсаторах были одинаковые разности потенциалов \(U_0 = \mathcal E_1/2\) и заряды \(q_0 = C\mathcal E_1/2\). Полярность указана на рисунке.

В момент замыкания ключа \(K\) заряды конденсаторов и напряжения на них не могут мгновенно измениться. В цепи появляются токи \(I\), \(I_1\) и \(I_2\) (см. рисунок). Согласно законам Кирхгофа:

\[Ir = \mathcal E_2 + \mathcal E_1 - U_0 \Rightarrow I = \dfrac{\mathcal E_2 + \mathcal E_1/2}{r}.\] Здесь \(I\) — ток через \(\mathcal E_2\). Далее \[I_2r + Ir = \mathcal E_2 + U_0,\] \[I_2 = -I + \dfrac{\mathcal E_2 + U_0}{r} = -\dfrac{\mathcal E_2 + \mathcal E_1/2}{r} + \dfrac{\mathcal E_2 + \mathcal E_1/2}{r} = 0.\] Следовательно, \(I_1 = I = \dfrac{\mathcal E_2 + \mathcal E_1/2}{r}\), где \(I_1\) — ток через \(\mathcal E_1\).

2. Начальная энергия системы \(W_0 = 2CU_0^2/2 = C\mathcal E_1^2/4\). В конечном состоянии (т. е. после затухания токов) напряжения на конденсаторах равны \(U_1 = \mathcal E_2 + \mathcal E_1\) и \(U_2 = \mathcal E_2\). Полярность указана на втором рисунке.

Энергия системы в конечном состоянии есть: \[W = \dfrac{C\mathcal E_2^2}{2} + \dfrac{C(\mathcal E_2 + \mathcal E_1)^2}{2}.\] Изменение энергии \[\Delta W = W - W_0 = \dfrac{C}{4}(\mathcal E_1 + 2\mathcal E_2)^2.\] 3. До замыкания ключа суммарный заряд на левых обкладках конденсаторов был равен нулю. В конечном состоянии \[q_1 = C(\mathcal E_1 + \mathcal E_2),\quad q_2 = C\mathcal E_2\ \Rightarrow\ q = q_1 + q_2 = C(\mathcal E_1 + 2\mathcal E_2).\] Это означает, что через батарею \(\mathcal E_2\) протёк заряд \(q\) и батарея совершила работу \[A_2 = q\mathcal E_2 = C\mathcal E_2(\mathcal E_1 + 2\mathcal E_2).\] Через батарею \(\mathcal E_1\) протёк заряд \[\Delta q = q_1 - q_0 = C(\mathcal E_2 + \mathcal E_1) - \dfrac{C\mathcal E_1}{2} = \dfrac{C\mathcal E_1(2\mathcal E_2 + \mathcal E_1)}{2}.\] Батарея совершила работу \[A_1 = \Delta q\mathcal E_1 = \dfrac{C(2\mathcal E_2 + \mathcal E_1)}{2}.\] Обе батареи совершили работу \(A = A_1 + A_2 = \dfrac{C(\mathcal E_1 + 2\mathcal E_2)^2}{2}\).

4. По закону сохранения энергии \(A = \Delta W + Q\), где \(Q\) — выделившееся тепло. Следовательно, \[Q = A - \Delta W = \dfrac{C(\mathcal E_1 + 2\mathcal E_2)^2}{4}.\]