Трогание длинного поезда

Пусть \(v_i'\) — скорость части состава из \(i\) вагонов сразу после вовлечения в движение \(i\)-го вагона, а \(v_i\) — скорость части состава из \(i\) вагонов перед ударом с \((i+1)\)-м вагоном.

Из закона сохранения импульса \((i + 1)mv_{i+1}' = imv_i = p_i\). По второму закону Ньютона \[a_{i+1} = \dfrac{F}{(i + 1)m}.\tag{1}\] По известному кинематическому соотношению \[a_{i+1}L = \dfrac{v_{i+1}^2 + v_{i+1}'^2}{2}.\tag{2}\] Подставив (1) в (2), получим \[v_{i+1}^2 = \dfrac{2FL}{(i + 1)m} + \left(\dfrac{i}{i + 1}\right)^2v_i^2,\] \[p_{i+1}^2 = 2(i + 1)mFL + p_i^2.\] Из полученной рекуррентной формулы следует \[p_N^2 = 2mFL\sum_{i=1}^{N} i + p_0^2\] и, так как \(p_0 = 0\), то \[p_N^2 = 2mFL\dfrac{N(N + 1)}{2},\quad v_N = \sqrt{\dfrac{FL}{m}}\sqrt{\dfrac{N + 1}{N}}.\] Найдём время вовлечения в движение \(N\) вагонов: \[v_i - v_i' = a_i\Delta t_i,\] \[\Delta t_i = \dfrac{v_i - v_i'}{a_i} = \dfrac{m}{F}(iv_i - iv_i') = \dfrac{m}{F}[iv_i - (i - 1)v_{i-1}],\] \[t_N = \dfrac{m}{F}\sum_{i=1}^{N-1}[iv_i - (i - 1)v_{i-1}] = \dfrac{m}{F}[(N - 1)v_{N-1} - 0v_0] = \dfrac{m}{F}v_{N-1}(N - 1).\] Используя полученное ранее выражение для \(v_N\), найдём \[t_N = \sqrt{\dfrac{mL}{F}}\,N\sqrt{1 - \dfrac{1}{N}}.\]