Пироговая

Скорость остывания пропорциональна разности температур пирога и воздуха. Значит, сама разность температур меняется по одному и тому же закону в обоих случаях, и её можно масштабировать.

Мощность теплопотерь пропорциональна разности температур пирога \(T\) и воздуха \(T_к\): за время \(\Delta t\) пирог отдаёт тепло \(\Delta Q = \alpha(T - T_к)\Delta t\). Если теплоёмкость пирога \(C\), то \(\Delta Q = C\,\Delta T\), и \[\frac{\Delta T}{\Delta t} = \frac{\alpha}{C}\,(T - T_к) .\] Физический смысл имеет разность температур пирога и окружающей среды \(\tilde T = T - T_к\), при постоянной температуре воздуха \(\Delta\tilde T = \Delta T\): \[\frac{\Delta\tilde T}{\Delta t} = \frac{\alpha}{C}\,\tilde T .\] Это уравнение не меняется, если умножить \(\tilde T\) на произвольный постоянный коэффициент \(k\). Значит, \(\tilde T\) уменьшается с \(\tilde T_1\) до \(\tilde T_2\) за такое же время, что и \(k\tilde T\) с \(k\tilde T_1\) до \(k\tilde T_2\).

В комнате \(\tilde T\) уменьшилось с \(60^\circ\)C до \(30^\circ\)C за \(5\) мин. Выбрав \(k = \frac43\), получим, что на балконе \(\tilde T\) (где \(\tilde T = T\)) падает с \(80^\circ\)C до \(40^\circ\)C за \(5\) мин. При \(k = \frac23\) получаем, что \(\tilde T\) падает с \(40^\circ\)C до \(20^\circ\)C тоже за \(5\) мин. Значит, с \(80^\circ\)C до \(20^\circ\)C пирог на балконе остынет за \(10\) мин.