Как ни крути

Методом размерностей найдите среднюю плотность заготовки через \(H\). Затем сравните положения равновесия бруска, лежащего на боку: квадратное и «ромбом» (повёрнутое на \(45^\circ\)).

Среднюю плотность заготовки найдём методом размерностей. Масса заготовки зависит от \(a\), \(H\) и \(k\); при удвоении \(a\) масса растёт в четыре раза, значит, \(m \sim a^2 k^{\alpha} H^{\beta}\). Размерности: \([m] = \text{кг}\), \([k] = \dfrac{\text{кг}}{\text{м}^4}\), \([H] = \text{м}\). Единственная комбинация с размерностью массы — \(m \sim a^2 k H^2\). Средняя плотность \[\rho_{\text{ср}} = \frac{m}{a^2 H} \sim kH .\] Поэтому средние плотности заготовки, стачиваемой до \(\frac{9}{10}H\) и до \(\frac12 H\), равны \(\rho_1 = 0{,}9\) г/см\(^3\) и \(\rho_2 = 0{,}5\) г/см\(^3\) соответственно.

Брусок легче воды, и устойчивым будет положение, при котором центр масс системы «брусок + вода» ниже. Поэтому брусок ложится на бок. При горизонтальном плавании квадратного бруска есть два положения равновесия: «квадрат» (грань вниз) и «ромб» (ребро вниз).

Для \(\rho = 0{,}9\) г/см\(^3\) над водой находится одна десятая часть объёма. В положении «квадрат» брусок выступает из воды на \(h = \frac{a}{10}\). В положении «ромб» выступающая часть — два треугольника с катетами \(h\), и \(\frac12 h^2 = \frac{1}{10}a^2\), откуда \(h = \sqrt{\frac15}\,a\). Глубина центра масс заготовки: \[H_{\text{з}}^{\,\text{I}} = \frac{a}{2} - \frac{a}{10} = 0{,}40\,a , \qquad H_{\text{з}}^{\,\text{II}} = \frac{a}{\sqrt2} - \frac{a}{\sqrt5} \approx 0{,}26\,a .\] Глубина центра масс вытесненной воды в положении «квадрат»: \[H_{\text{в}}^{\,\text{I}} = \frac12\cdot\frac{9}{10}\,a = 0{,}45\,a .\] В положении «ромб» фигуру можно представить как наложение квадрата массой \(m\) и треугольника массой \(-m/10\). Центр масс квадрата лежит на глубине \(\frac{\sqrt2}{2}a - h\), а треугольника — на высоте \(h/3\) над уровнем воды. Значит, \[H_{\text{в}}^{\,\text{II}} = \frac{1}{3}h\cdot\frac{1}{10} + \left(\frac{\sqrt2}{2}a - h\right) \approx 0{,}27\,a .\] Центр масс заготовки и центр масс вытесненной воды в первом положении ниже, чем во втором, значит, устойчиво положение «квадрат», и брусок погружён на \(0{,}9\,a = 4{,}5\) см.

Для \(\rho = 0{,}5\) г/см\(^3\) центр масс заготовки в обоих положениях находится на уровне воды, и важна только глубина центра масс вытесненной воды: \[H_{\text{в}}^{\,\text{I}} = \frac{a}{4} , \qquad H_{\text{в}}^{\,\text{II}} = \frac{\sqrt2}{6}\,a \approx 0{,}23\,a .\] Так как \(H_{\text{в}}^{\,\text{I}} > H_{\text{в}}^{\,\text{II}}\), устойчивым будет положение «ромб». Глубина погружения равна половине диагонали: \(\dfrac{a}{\sqrt2} \approx 3{,}5\) см.