Модель требушета

В каких единицах измеряются \(\rho\) и \(g\)? Можно ли составить из них одних величину с размерностью длины? Аналогично подумайте, какая комбинация \(\rho\), \(H\), \(g\) имеет размерность силы.

Перечисленные в условии задачи параметры \(H\), \(\rho\) и \(g\) в СИ измеряются в м, кг/м\(^3\) и м/с\(^2\) соответственно. Дальнобойность орудия \(L\) имеет размерность длины, которая измеряется в метрах. Так как килограмм присутствует только в единице плотности, а секунда только в единице ускорения свободного падения, то, используя эти параметры, мы не сможем в результате получить единицу длины. Следовательно, дальнобойность орудия \(L\) может зависеть только от \(H\). Их единицы измерения совпадают, поэтому \(L\) пропорционально \(H\). В таком случае дальнобойность точной копии требушета, все размеры которой в 10 раз меньше оригинала, уменьшится тоже в 10 раз.

Для любой силы, действующей в конструкции, \(F = \alpha\rho H^3 g\), где \(\alpha\) — безразмерный коэффициент. Для силы тяжести это очевидно, но поскольку размерность силы получается единственным способом \(\rho H^3 g\), то для разных сил мы будем получать одинаковую зависимость от \(\rho\), \(H\) и \(g\) с разными коэффициентами \(\alpha\). Это и сила давления требушета на землю, и сила растяжения верёвки при выстреле, и сила, действующая на ось рычага. Таким образом, мы получаем, что максимальная (в процессе выстрела) сила натяжения верёвок, соединяющих рычаг и пращу, уменьшится в 1000 раз.