Резиновое кольцо на двух шкивах

Пусть сила натяжения кольца равна \(T\). Тогда условие равновесия каждого шкива даёт \[2T\cos\alpha = N ,\] где \(N\) — сила реакции, действующая на один шкив со стороны другого, \(\alpha\) — угол между участком кольца между шкивами и отрезком, соединяющим центры шкивов. Геометрически очевидно (см. рисунок), что \[\sin\alpha = \frac{3R-R}{3R+R} = \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad \alpha = 30^\circ .\] Отсюда находим длину растянутого кольца, которая равна удвоенной длине участка кольца между шкивами, длине участка кольца, охватывающего большой шкив и опирающегося на угол \(240^\circ\), и длине участка кольца, охватывающего малый шкив и опирающегося на угол \(120^\circ\). Таким образом, длина растянутого кольца есть \[L = 3R\cdot\frac{2}{3}\cdot2\pi + R\cdot\frac{1}{3}\cdot2\pi + 4R\sqrt3 = 2R\left(\frac{7\pi}{3}+2\sqrt3\right).\] Это значит, что кольцо удлинилось на величину \[\Delta L = L - 6\pi R = 4R\left(\sqrt3-\frac{\pi}{3}\right),\] и, следовательно, сила натяжения кольца есть \[T = k\,\Delta L = 4kR\left(\sqrt3-\frac{\pi}{3}\right) .\] Отсюда находим \[N = 2T\cos30^\circ = \sqrt3\,T = 4kR\left(3-\frac{\sqrt3\,\pi}{3}\right) .\]