Брусок в смеси жидкостей

Найдите среднюю плотность смеси через массы и объемы компонент; условия плавания в каждой жидкости дают связь плотностей.

Условия плавания бруска в первой и второй жидкостях дают \[\rho_0 V g = \rho_1 g\,\frac{2}{3}V , \qquad \rho_0 V g = \rho_2 g\,\frac{1}{3}V ,\] где \(\rho_0\), \(\rho_1\) и \(\rho_2\) — плотности бруска, первой и второй жидкостей соответственно, \(V\) — объем бруска. Отсюда следует, что \(\rho_0=(2/3)\rho_1\) и \(\rho_2=2\rho_1\). Найдем теперь среднюю плотность смеси жидкостей: \[\rho_{ср} = \frac{M+\frac{M}{2}}{\frac{M}{\rho_1}+\frac{M}{2\rho_2}} = \frac{M+\frac{M}{2}}{\frac{M}{\rho_1}+\frac{M}{4\rho_1}} = \frac{6}{5}\,\rho_1 .\] Поэтому условие плавания бруска в смеси жидкостей дает \[\rho_0 V g = \rho_{ср}\, g\, k V ,\] где \(k\) — доля объема бруска, погруженная в смесь жидкостей. Отсюда получаем \[k = \frac{5}{9} .\]