Квадрат с диагоналями

Подумайте, есть ли ток в той диагонали, которая не соединяет точки подключения; симметрия цепи поможет ответить на вопрос.

Поскольку данная в условии электрическая цепь симметрична относительно направления «верх–низ» (см. рисунок) по поперечной диагонали квадрата не течет электрический ток. Действительно, с точки зрения протекания электрического тока «верх» цепи ничем не отличается от ее «низа», а «право» от «лева». Поэтому токи в продольной диагонали квадрата до и после центрального узла будут одинаковы. А если бы в поперечной диагонали текли токи, они были бы одинаковы по величине и направлению, а это привело бы к изменению тока в продольной диагонали «до» и «после» центрального узла.

А это означает, что если мы удалим центральный поперечный проводник из цепи, с точки зрения протекания электрического тока она никак не изменится, и, следовательно, ее сопротивление останется точно таким же. Но ее сопротивление совсем легко вычислить, поскольку эта цепь представляет собой три параллельных проводника, сопротивления которых таковы (сверху вниз): \(2\lambda a\), \(\sqrt{2}\lambda a\) и \(2\lambda a\) (длина диагонали квадрата в \(\sqrt{2}\) раз больше длины стороны). Находя общее сопротивление параллельно соединенных проводников, получим \[\frac{1}{R} = \frac{1}{2\lambda a} + \frac{1}{\sqrt{2}\lambda a} + \frac{1}{2\lambda a} = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}\,\lambda a} .\] Отсюда \[R = \frac{\sqrt{2}\,\lambda a}{\sqrt{2}+1} .\]