Вода и лёд в калориметре

Запишите уравнения теплового баланса для двух граничных случаев: \(m_л=n\,m_в\) и \(m_в=2n\,m_л\). Затем исключите неизвестные начальные температуры.

Из условия следует, что если \(m_л=n\,m_в\), то в калориметре будет лед с температурой \(T=0\,^\circ\)C. Это значит, что при таком соотношении масс, при установлении равновесия лед нагрелся до температуры \(T=0\,^\circ\)C, вода остыла до температуры \(T=0\,^\circ\)C и вся превратилась в лед. Поэтому уравнение теплового баланса для таких масс воды и льда дает \[c_л\, n\, m_в\,(T-T_л) = \lambda m_в + c_в m_в\,(T_в-T) \quad\Rightarrow\quad -c_л\, n\, T_л = \lambda + c_в T_в ,\] где \(c_л\) и \(c_в\) — удельные теплоемкости льда и воды, \(\lambda\) — удельная теплота кристаллизации воды, \(T_л\) и \(T_в\) — начальные температуры льда и воды (в последней формуле использовано, что температура плавления льда \(T=0\,^\circ\)C, и температуры необходимо задавать в градусах Цельсия).

Аналогично, если \(m_в=2n\,m_л\), то после установления равновесия в калориметре будет вода с температурой \(T=0\,^\circ\)C. Т.е. при таком соотношении масс лед нагреется до температуры плавления и превратится в воду при этой же температуре, а вода охладится до температуры плавления льда. Поэтому \[c_л m_л\,(T-T_л) + \lambda m_л = c_в\, 2n\, m_л\,(T_в-T) \quad\Rightarrow\quad -c_л T_л + \lambda = 2 c_в\, n\, T_в ,\] (аналогично (*) в последней формуле использовано, что температура плавления льда \(T=0\,^\circ\)C, и температуры необходимо задавать в градусах Цельсия). Решая систему уравнений \[c_л\, n\, T_л + c_в T_в = -\lambda , \qquad c_л T_л + 2 c_в\, n\, T_в = \lambda\] относительно величин \(c_л T_л\) и \(c_в T_в\), получим \[c_л T_л = -\frac{\lambda\,(2n+1)}{2n^2-1} , \qquad c_в T_в = \frac{\lambda\,(n+1)}{2n^2-1} ,\] (здесь температуры льда и воды заданы в градусах Цельсия).

Рассмотрим теперь процесс установления льда и воды с теми же начальными температурами и такими массами, что после установления равновесия в сосуде останутся лед и вода с такими же массами. Такое возможно только в случае, когда температуры льда и воды равны температуре плавления льда \(T=0\,^\circ\)C. Поэтому в этом случае при установлении равновесия лед нагревается до температуры \(T=0\,^\circ\)C, но не плавится, а вода остывает до температуры \(T=0\,^\circ\)C, но не кристаллизуется. Поэтому уравнение теплового баланса имеет вид \[c_л m_л\,(T-T_л) = c_в m_в\,(T_в-T) \quad\Rightarrow\quad -c_л m_л T_л = c_в m_в T_в\] (аналогично (*) в последней формуле использовано, что температура плавления льда \(T=0\,^\circ\)C, и температуры необходимо задавать в градусах Цельсия). Отсюда с учетом найденных выше значений \(c_л T_л\) и \(c_в T_в\) находим \[\frac{m_л}{m_в} = \frac{n+1}{2n+1} .\]