Кот и мышь в квадратной комнате

Обозначьте \(b=xa\) и \(c=(1-x)a\): через них выражаются отрезки пути мыши и кота между норками. Для каждой возможной встречи приравняйте времена движения мыши и кота, затем проверьте, что найденное соотношение скоростей не даёт встречи у других норок.

Норки — на расстоянии \(xa\) от углов комнаты при любом \(0<x<1\); соотношение скоростей мыши \(v\) и кота \(u\): \(\dfrac{v}{u}=\dfrac{3+x}{4\sqrt{1-2x+2x^2}}\).

Пусть \(b=xa\), \(c=(1-x)a\). Возможны четыре варианта встречи кота и мыши у разных норок. Для каждого приравняем времена движения мыши \(v\) и кота \(u\): \[\frac{b}{v}=\frac{3\sqrt{b^2+c^2}}{u},\qquad \frac{2b+c}{v}=\frac{2\sqrt{b^2+c^2}}{u},\qquad \frac{3b+2c}{v}=\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{u},\qquad \frac{4b+3c}{v}=\frac{4\sqrt{b^2+c^2}}{u}.\] Встреча у стартовой норки даёт последнее равенство: \[\frac{v}{u}=\frac{4b+3c}{4\sqrt{b^2+c^2}}=\frac{3+x}{4\sqrt{1-2x+2x^2}}.\] Теперь проверим, что при этом отношении скоростей встреч у других норок нет. Приравнивание отношения скоростей к первым трём вариантам даёт \(x=9\), \(x=1\) и \(x=-\frac{5}{3}\). Эти значения не удовлетворяют условию \(0<x<1\), поэтому других встреч не происходит.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.