Пудинг Минковского

Количество теплоты пропорционально массе, то есть объёму. Объём конуса пропорционален кубу его высоты, и тогда объёмы частей выражаются через отношение \(h/L\) расстояния до вершины.

Количество теплоты \(Q = c\rho V\Delta T\). Конус однозначно задаётся углом раствора и высотой; из соображений размерности объём конуса \(V = kH^3\), где \(k\) — безразмерный коэффициент, зависящий от угла раствора.

Пусть расстояние от верхней части пудинга до вершины конуса равно \(L\). Тогда объёмы частей \[V_1 = k(h+L)^3 - kL^3, \quad V_2 = k(2h+L)^3 - k(h+L)^3, \quad V_3 = k(3h+L)^3 - k(2h+L)^3 .\] Одинаковое тепло нагревает верхнюю часть на \(3\,^\circ\)C, а среднюю на \(1\,^\circ\)C, значит, объём средней части втрое больше объёма верхней: \(V_2 = 3V_1\). Отсюда \[\frac{V_1}{V_2} = \frac{3hL^2 + 3h^2L + h^3}{3hL^2 + 9h^2L + 7h^3} = \frac13 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac hL\right)^2 = \frac32 .\]

Доля верхней части в объёме всего пудинга \[\frac{V_1}{V_1+V_2+V_3} = \frac{(h+L)^3 - L^3}{(3h+L)^3 - L^3} \approx 0{,}1 .\] Значит, чтобы нагреть большой пудинг на \(1\,^\circ\)C, нужно в \(10\) раз больше тепла, чем для верхней части, то есть \(10 \cdot \tfrac{100~\text{Дж}}{3}\). Для нагрева на \(12\,^\circ\)C требуется \[Q = 10 \cdot 100~\text{Дж} \cdot \frac{12\,^\circ\text{C}}{3\,^\circ\text{C}} = 4~\text{кДж}.\]