Водонагреватель с коаксиальными цилиндрами

Выделившаяся в элементе цилиндров теплота уносится протекающей водой. Сопротивление элемента длины \(\Delta l\) найдите, мысленно разрезав его по образующей и развернув: получатся две параллельные пластины.

Рассмотрим малый элемент цилиндров длиной \(\Delta l\). За малый интервал времени \(\Delta t\) в нём выделится количество теплоты \[\delta Q = \frac{U^2}{r}\,\Delta t,\] где \(r\) — сопротивление элемента. Если мысленно разрезать элемент по образующей и развернуть, получатся две параллельные металлические пластинки практически одинаковой площади \(2\pi R\,\Delta l\) (так как разность радиусов мала, в качестве \(R\) можно взять \(R_1\), \(R_2\) или их среднее), находящиеся на расстоянии \(R_2-R_1\) друг от друга. Поэтому \[r = \frac{\rho\,(R_2-R_1)}{2\pi R\,\Delta l},\] где \(\rho\) — удельное сопротивление воды, и в элементе выделяется количество теплоты \[\delta Q = \frac{U^2\,2\pi R\,\Delta l}{\rho\,(R_2-R_1)}\,\Delta t.\]

Так как теплопотери отсутствуют, это количество теплоты уносится протекающей через элемент водой. За время \(\Delta t\) в элемент втекает (и вытекает) масса воды \[\Delta m = \rho_0\,v\,\Delta t\,2\pi R\,(R_2-R_1),\] где \(\rho_0\) — плотность воды. Если разность температур вытекающей и втекающей воды равна \(\Delta T\), то вода уносит из элемента \[\delta Q = c\,\Delta m\,\Delta T = c\,\rho_0\,v\,\Delta t\,2\pi R\,(R_2-R_1)\,\Delta T.\] Приравнивая выделившуюся и унесённую теплоту, получаем изменение температуры воды на единицу длины цилиндров: \[\frac{\Delta T}{\Delta l} = \frac{U^2}{c\,\rho_0\,\rho\,v\,(R_2-R_1)^2}.\]