Колпак, который катится по конусу

На празднике с головы рассеянного физика Смирнова, увлечённо рассказывавшего анекдот про кота Шрёдингера, предательски соскользнул красочный колпак. Он не просто упал, а с кокетливой грацией закрутился без проскальзывания по горизонтальной плоскости вокруг своей конической вершины, вызвав кратковременный ступор у ближайших коллег.

Сидоров, чей мозг был заточен под решение всевозможных уравнений, а не на поддержание головных уборов, моментально переключился. «Интересно», — пробормотал он, глядя на грациозный танец колпака. «Какова угловая скорость колпака? Какова первая производная от этой скорости? Можно ли описать это аналитически?»

Весь вечер, пока остальные наслаждались оливье и пели караоке, Смирнов, с горящими глазами, что-то лихорадочно записывал на салфетке, бормоча про угловые величины. Говорят, к концу вечера он не только решил задачу, но и разработал теорию оптимального ношения праздничных колпаков. Правда, никто так и не понял, зачем это нужно.

Рисунок с салфетки физика прилагается. Данные с рисунка считать известными: угол раствора \(2\alpha\) и радиус основания \(R\). Скорость точки \(C\) основания конуса равна \(v\).

Что получил Смирнов?