Шар с отверстиями в воде

Пока шар плавает, его погружённый объём растёт на тот же объём, что и вошедшая в шар вода. Что меняется в сосуде, когда шар перестаёт плавать?

Пусть масса шара \(m\). Условие плавания: \(mg = \rho g\,\dfrac{2V}{3}\), где \(\rho\) — плотность воды, \(V\) — объём шара. Пусть в шар вошёл объём воды \(V_1\), шар ещё плавает. Тогда \[(m + \rho V_1)\,g = \rho g\left(\frac{2V}{3} + \Delta V\right),\] где \(\Delta V\) — увеличение объёма погружённой части шара. Отсюда \(\Delta V = V_1\): объём вошедшей в шар воды равен увеличению погружённого объёма. Пока шар плавает, уровень воды в сосуде не меняется. Шар утонет, когда водой заполнится более одной трети его объёма. После этого объём воды в сосуде плюс объём погружённой части шара уменьшается на объём воды, вошедшей в шар.

При заполнении половины шара водой этот объём уменьшается на \[\frac{1}{2}V - \frac{1}{3}V = \frac{1}{6}\cdot\frac{4\pi R^3}{3} = \frac{2\pi R^3}{9}.\] Понижение уровня \(\Delta h\) найдём из \(\pi (2R)^2\,\Delta h = \dfrac{2\pi R^3}{9}\): \[\Delta h = \frac{R}{18}.\] Когда шар полностью заполнится водой, уровень понизится на \(\Delta h_1 = \dfrac{2}{9}R\).