Четыре стержня и температуры

В установившемся режиме суммарный поток тепла, входящий в точку D, равен нулю. Для стержня AD из двух последовательных одинаковых стержней используйте то, что точка E имеет среднюю температуру.

Пусть поток тепла по стержню от конца с температурой \(t_1\) к концу с температурой \(t_2\) равен \(w = k(t_1 - t_2)\), где \(k\) зависит от геометрии стержня и материала, но не от температур. Поток считается положительным в направлении от большей температуры к меньшей, формула верна при любом соотношении температур.

В равновесии сумма потоков, входящих в точку D, равна нулю: \[w_{A\to D} + w_{B\to D} + w_{C\to D} = 0 .\] Здесь \(w_{B\to D} = k(2t - t_D)\), \(w_{C\to D} = k(3t - t_D)\). Стержни AE и ED имеют одинаковый поток, так как температура точки E не меняется, поэтому температура E — среднее арифметическое температур A и D, и \[w_{A\to D} = w_{A\to E} = w_{E\to D} = \frac{1}{2}\,k\,(t - t_D).\] Тогда \[k(2t - t_D) + k(3t - t_D) + \frac{1}{2}k(t - t_D) = 0,\] откуда \(t_D = \dfrac{11}{5}\,t\).