Тело на доске с трением

Тело разгоняется силой трения, доска тормозится. Найдите ускорения обоих тел и условие, при котором к моменту выравнивания скоростей тело проходит относительно доски её длину.

Сила трения между телом и доской \(F_{тр} = \mu N = \mu m g\). Второй закон Ньютона для тела и доски в проекциях на ось \(x\), направленную по движению доски: \[m a_1 = F_{тр}, \qquad -4m a_2 = -F_{тр},\] где \(a_1\) и \(a_2\) — модули ускорений тела и доски. Отсюда \(a_1 = \mu g\), \(a_2 = \dfrac{\mu g}{4}\). Оба движения равноускоренные. Скорости тела и доски сравняются в момент \[t_1 = \frac{v}{a_1 + a_2}.\] Минимальная скорость доски соответствует случаю, когда к этому моменту тело оказывается на другом конце доски, т.е. относительное перемещение равно длине доски: \[v t_1 - \frac{a_1 t_1^2}{2} - \frac{a_2 t_1^2}{2} = l.\] Отсюда \(v^2 = 2l(a_1 + a_2)\). Подставляя ускорения, получаем \[v = \sqrt{\frac{5}{2}\,\mu g l}.\]