Радиоактивный шар: температура в центре

Запишите баланс тепла для тонкого сферического слоя: поток тепла через его поверхность равен мощности тепловыделения внутри слоя.

Разобьём шар на тонкие сферические слои. В условиях равновесия поток тепла через каждый слой равен мощности тепловыделения внутри него. Если через единицу площади слоя радиуса \(r\) толщиной \(\Delta r\) проходит поток тепла \(q\), то поток через всю поверхность слоя равен \(4\pi r^2 q\). Внутри слоя в единицу времени выделяется \(\frac{4}{3}\pi r^3 w\). Поэтому \[4\pi r^2 q = \frac{4}{3}\pi r^3 w \quad\Rightarrow\quad q = \frac{1}{3} r w.\] Используя закон Фурье, получим \[\lambda\frac{\Delta t}{\Delta r} = \frac{1}{3} r w \quad\Rightarrow\quad \Delta t = \frac{w}{3\lambda}\, r\,\Delta r.\] Суммируя разности температур по всем слоям от центра до поверхности, \(\sum r_i \Delta r_i = \dfrac{R^2}{2}\), получаем \(T = T_0 + \dfrac{wR^2}{6\lambda}\).