Блок из двух дисков и два груза

Запишите второй закон Ньютона для обоих тел, моменты сил для невесомых блоков и связь между ускорениями: нижний блок опускается вдвое медленнее, чем нить разматывается с большого диска.

Очевидно, векторы ускорений обоих тел направлены вниз. Действительно, при движении тела \(m\) вниз с верхнего блока сматывается больше нити, чем на него наматывается, следовательно, нижний блок (и нижнее тело) опускается.

Второй закон Ньютона для обоих тел даёт (в проекциях на ось \(x\), направленную вертикально вниз): \[\begin{aligned} m a_1 &= mg + T_2 - T_1,\\ 3m a_2 &= 3mg - T, \end{aligned} \qquad (*)\] где \(a_1\) и \(a_2\) — ускорения тел с массами \(m\) и \(3m\) соответственно, \(T_1\) — сила натяжения нити, идущей к грузу \(m\), \(T_2\) — натяжение нити между блоками, \(T\) — натяжение нити, идущей к нижнему блоку.

Поскольку нижний блок не имеет массы, а на него действуют две силы \(T_2\), направленные вверх, и сила \(T\), направленная вниз, то \(T = 2T_2\). Верхний блок вращают силы \(T_2\) с плечом \(R/2\) и сила \(T_1\) с плечом \(R\). Поскольку он также не имеет массы, его можно вращать практически нулевым моментом. Поэтому \[T_1 R = T_2 \frac{R}{2} \quad\Rightarrow\quad T_2 = 2T_1.\]

В результате система уравнений \((*)\) принимает вид \[\begin{aligned} m a_1 &= mg + T_1,\\ 3m a_2 &= 3mg - 4T_1. \end{aligned} \qquad (**)\] Найдём связь ускорений. Пусть тело \(m\) спустилось на величину \(\Delta l\). Значит, с большого блока смоталась нить длиной \(\Delta l\), на малый намотается \(\Delta l/2\). Нить станет длиннее на \(\Delta l/2\), нижний блок опустится на \(\Delta l/4\). Следовательно, если ускорение тела \(m\) равно \(a_1\), то ускорение тела \(3m\) равно \(a_1/4\): \[a_1 = 4a_2.\] В результате система уравнений \((**)\) примет вид \[\begin{aligned} 4m a_2 &= mg + T_1,\\ 3m a_2 &= 3mg - 4T_1. \end{aligned}\] Решая систему, найдём \[a_1 = \frac{28}{19}\,g, \qquad a_2 = \frac{7}{19}\,g.\]