Остойчивость бруска в воде

Устойчивому положению равновесия отвечает минимум потенциальной энергии системы «тело – вода». Сравните, как высоко над уровнем воды поднимается центр тяжести вытесненной воды в каждом положении.

Оба положения модели корабля, данные в условии, являются положениями равновесия – это значит, что сумма сил и сумма моментов сил, действующих на модель, равна нулю. Поэтому в этом положении потенциальная энергия модели в поле силы тяжести достигает или максимума, или минимума среди всех соседних положений. Однако в положении устойчивого равновесия этот экстремум потенциальной энергии должен быть минимумом. Найдём, какое из двух положений, данных в условии, отвечает минимуму потенциальной энергии.

Потенциальная энергия плавающего тела складывается из потенциальной энергии самого тела и потенциальной энергии воды, которая поднимается благодаря её вытеснению телом. Потенциальная энергия тела в обоих случаях одинакова, поскольку его центр тяжести находится на уровне воды. Потенциальную энергию вытесненной воды можно посчитать так. До вытеснения – это потенциальная энергия воды в объёме погружённой в воду части тела, после вытеснения – это потенциальная энергия этой воды на поверхности воды в сосуде. Поэтому потенциальная энергия воды в объёме погружённой в воду части тела равна (относительно уровня воды в сосуде) \[\Pi = mgh,\] где \(m\) – масса вытесненной воды, \(g\) – ускорение свободного падения, \(h\) – расстояние от центра тяжести вытесненной воды до поверхности воды в сосуде. Масса вытесненной воды одинакова и для первой, и для второй модели, а вот расстояние от поверхности до центра тяжести – разное. В первом случае (случай а) оно равно \(h_а = a/4 = 0{,}25\,a\) (где \(a\) – ребро поперечного сечения модели), во втором случае (случай б) – \(h_б = \sqrt{2}\,a/6 = 0{,}236\,a\) (эта формула связана с тем, что сечение погружённой части модели – треугольник, а его центр тяжести находится в точке пересечения медиан). Поскольку \(h_б < h_а\), потенциальная энергия плавающего тела в случае а) больше, чем в случае б). А поскольку «между ними» нет других положений равновесия, потенциальная энергия плавающего тела в положении а) достигает максимума, в положении б) – минимума. Поэтому положение а) – неустойчивое, положение б) – устойчивое равновесие.