Жук на горке-гиперболе

Выразите полные затраты энергии через координату \(x\) и найдите минимум получившейся функции.

Суммарная энергия, затраченная жуком на выполнение задачи, \[E = \eta (mgy + k m g x) = \eta m g \left(\frac{1}{x} + k x\right),\] где \(\eta\) и \(x\) — соответственно КПД и координата жука. Таким образом, для определения минимума энергозатрат нужно исследовать функцию \[f(x) = k x + \frac{1}{x}.\] Сделаем замену \[k x = a z, \qquad \frac{1}{x} = \frac{a}{z}.\] Перемножив уравнения друг на друга, видим, что \(a = \sqrt{k}\). Таким образом, \[f(x) = a \left(z + \frac{1}{z}\right).\] Очевидно, функция \(z + \dfrac{1}{z}\) достигает минимума в точке \(z = 1\). Стало быть, искомый путь \[s = \frac{a z_{\min}}{k} = \frac{1}{\sqrt{k}} = \sqrt{2} \approx 1{,}4~\text{м}.\]