Коробка передач
6/10У мальчика Карла в пенале есть три карандаша с поперечными сечениями в виде треугольника со стороной \(a\), квадрата со стороной \(a\) и шестиугольника со стороной \(a/3\). Карл расположил их параллельно друг другу и натянул между соседними карандашами резинки. Найдите, какое максимальное число оборотов вокруг своей оси сможет совершить самый правый карандаш, если самый левый совершит \(1000\) полных оборотов.
Резинки всё время остаются натянутыми и не проскальзывают.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаРезинка без проскальзывания работает как качение колеса: за один оборот карандаш протягивает резинку на свой периметр. Сравните периметры карандашей.
Ответ\(2000\) оборотов.
РешениеОтносительное движение карандашей и резинок аналогично качению колеса без проскальзывания. Если колесо проходит расстояние \(s\), то число его оборотов равно \(s/P\), где \(P\) — периметр. Периметры карандашей: \(3a\) (треугольник), \(4a\) (квадрат) и \(2a\) (шестиугольник). Расстояние между карандашами не меняется, поэтому соседние карандаши проходят одинаковые расстояния вдоль резинок, и числа оборотов обратно пропорциональны периметрам: \[N_2 = N_1\frac{P_1}{P_2}, \qquad N_3 = N_2\frac{P_2}{P_3} = N_1\frac{P_1}{P_3} .\] Чтобы \(N_3\) было наибольшим, нужно взять \(P_1 = 4a\) (квадрат слева) и \(P_3 = 2a\) (шестиугольник справа). Тогда самый правый карандаш совершит \(N_3 = 1000\cdot 4a/2a = 2000\) оборотов.
Похожие задачи
- Комок грязи с колеса «Шаг в будущее» 2014/15, 10 кл.
- Камни в колёсах ВсОШ 2015/16, 9 кл.
- Катящийся шарик Интернет-олимпиада 2018/19, 9 кл.
- Двухколёсная телега Санкт-Петербургская 2023/24, 7 кл.
- Обруч отскакивает от стенки Физтех 2024/25, 10 кл.
- Скорости точек обруча МОШ 2024/25, 9 кл.