Задачи › Плавание тел, устойчивость плавания

Свечка с алюминиевой шайбой

  1. Свечка с алюминиевой шайбой

    СПбГУ 2022/23, 9 кл.
    5/10

    Парафиновая цилиндрическая свечка с прикреплённой к ней снизу алюминиевой шайбой плавает в бассейне (см. рисунок). Диаметры свечки и шайбы одинаковы, высота свечки — \(H_0 = 20\) см, высота шайбы — \(h_0 = 1\) см. Свечку поджигают и наблюдают за её движением. Форма свечки при этом остаётся цилиндрической, её высота уменьшается со скоростью \(c = 0{,}3\) мм/с. Через некоторое время \(t_0\) верхняя грань свечки оказывается вровень с водой, и фитиль потухает. Определите время \(t_0\). Плотность парафина \(\rho_{\text{п}} = 900\) кг/м\(^3\), плотность воды \(\rho_{\text{в}} = 1000\) кг/м\(^3\), плотность алюминия \(\rho_{\text{ал}} = 2700\) кг/м\(^3\). Считайте, что свечка перемещается в воде медленно и с постоянной скоростью.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    \(100\) с.

    Решение

    Высота свечки меняется по закону \(H(t) = H_0 - ct\). Условие плавания в каждый момент: \[\rho_{\text{ал}}\,h_0 + \rho_{\text{п}}\,H(t) = \rho_{\text{в}}\,h(t),\] где \(h(t)\) — погружённая часть всей конструкции. В момент \(t_0\) свечка уходит под воду, и \(h(t_0) = h_0 + H_0 - ct_0\). Отсюда \[t_0 = \frac{1}{c}\left(H_0 - \frac{\rho_{\text{ал}} - \rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{п}}}\,h_0\right) = \frac{1}{0{,}3~\text{мм/с}}\,(200~\text{мм} - 170~\text{мм}) = 100~\text{с}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх