Свечка на пружинке
6/10Парафиновая цилиндрическая свечка высотой \(H_0 = 40\) см и площадью основания \(S = 0{,}05\) м\(^2\) плавает в бассейне. Свечка прикреплена к полу бассейна пружинкой с жёсткостью \(k = 50\) Н/м (см. рисунок). Свечку поджигают и наблюдают, как испаряется парафин. Форма свечки при этом остаётся цилиндрической, её высота уменьшается со скоростью \(c = 0{,}4\) мм/с. Через некоторое время \(t_0\) верхняя грань свечки оказывается вровень с водой, и фитиль потухает. Определите время \(t_0\), если известно, что растяжение пружины в этот момент составляло \(\Delta x = 10\) см. Плотность парафина \(\rho_{\text{п}} = 900\) кг/м\(^3\), плотность воды \(\rho_{\text{в}} = 1000\) кг/м\(^3\). Ускорение свободного падения примите равным \(10\) м/с\(^2\). Считайте, что свечка опускается в воду медленно и с постоянной скоростью.
▶Показать разборСкрыть разбор
Ответ\(750\) с.
РешениеВысота свечки меняется по закону \(H(t) = H_0 - ct\). Второй закон Ньютона для свечки, движущейся равномерно, с учётом силы упругости пружины: \[\rho_{\text{п}}\,H(t) + \frac{k\,\Delta x}{S g} = \rho_{\text{в}}\,h(t),\] где \(h(t)\) — погружённая часть свечки. В момент \(t_0\) верхняя грань на уровне воды, \(h(t_0) = H(t_0)\). Отсюда \[t_0 = \frac{1}{c}\left(H_0 - \frac{1}{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{п}}}\,\frac{k\,\Delta x}{S g}\right) = \frac{1}{0{,}4~\text{мм/с}}\,(400~\text{мм} - 100~\text{мм}) = 750~\text{с}.\]
Похожие задачи
- Плотность нефти ВсОШ 2009/10, 9 кл.
- Горящая свеча с шариком МОШ 2010/11, 8 кл.
- Крышка на смеси воды и льда МОШ 2010/11, 9 кл.
- Льдина с грузом и школьником МОШ 2011/12, 9 кл.
- Льдинка с полостью ВсОШ 2011/12, 10 кл.
- Пустая бутылка ВсОШ 2011/12, 11 кл.