Запутанная схема

Перерисуйте схему так, чтобы были видны параллельные и последовательные соединения. Амперметр, включённый параллельно вольтметру, находится под тем же напряжением. Перебирайте варианты расстановки и ищите противоречие с тем, во сколько раз отличаются показания.

Перерисуем электрическую схему.

Приборы 3 и 4 соединены параллельно, а по условию нет двух вольтметров или амперметров с одинаковыми показаниями. Поэтому один из приборов 3 и 4 должен быть вольтметром, а второй — амперметром. Давайте для определённости будем считать 3 амперметром, а 4 — вольтметром.

Предположим, что прибор номер 1 — амперметр. Через прибор 1 протекает ток, равный сумме токов через приборы 3 и 4. Тогда из двух амперметров 1 и 3 больший ток протекает через амперметр 1. Значит, через амперметр 1 протекает ток \(I_1 = 520\) мкА, а через амперметр 3 протекает ток \(I_3 = 200\) мкА. Соответственно через вольтметр 4 протекает ток \(I_1 - I_3 = 320\) мкА. Найдём внутреннее сопротивление амперметра. Амперметр 3 включён в схему параллельно вольтметру 4, значит, напряжение на амперметре 3 равно напряжению на вольтметре 4. Тогда внутреннее сопротивление амперметров \(R_A = \dfrac{U_4}{I_3}\). Напряжение на амперметре 1 равно \(U_1 = I_1 R_A = \dfrac{U_4 I_1}{I_3}\). Известно, что в схеме всего 2 амперметра. Если приборы 1 и 3 — амперметры, тогда прибор 2 должен быть вольтметром. Он показывает сумму напряжений на амперметрах 1 и 3, равную \(U_1 + U_4 = \dfrac{U_4(I_1 + I_3)}{I_3} = 3{,}6U_4\). Но по условию задачи в схеме нет двух вольтметров, показания которых различаются в 3,6 раза. Тогда мы приходим к противоречию с предположением, что прибор 1 — амперметр. Следовательно, прибор 1 — вольтметр.

Через вольтметр 1 течёт ток, равный сумме токов через амперметр 3 и вольтметр 4. Поэтому напряжение на вольтметре 1 больше, чем на вольтметре 4. Если 2 — вольтметр, то напряжение на нём равно сумме напряжений на 1 и 4. Если 5 — вольтметр, то ток через него равен сумме токов через 1 и 2, значит, напряжение на 5 больше, чем напряжение на 1 и 4. В любом случае получаем, что самое маленькое напряжение из всех вольтметров (равное 2 В) показывает вольтметр 4, а вольтметр 1 показывает среднее значение \(U_1 = 12\) В. Напряжение на приборе 2 равно сумме напряжений на вольтметрах 1 и 4. Тогда \(U_2 = U_1 + U_4 = 14\) В. Если предположить, что прибор 2 — амперметр, то сила тока через него должна быть равна \(\dfrac{U_2}{R_A} = \dfrac{U_2 I_3}{U_4} = 7I_3\). Но это не соответствует условиям задачи: по условию показания двух амперметров отличаются в \(\dfrac{520}{200} = 2{,}6\) раза. Следовательно, прибор 2 — вольтметр и его показания \(U_2 = 14\) В, а прибор 5 — амперметр. Мы узнали, на каких местах в схеме стоят амперметры и вольтметры.

Приборы 1, 2 и 4 — вольтметры, 3 и 5 — амперметры.

Теперь найдём внутренние сопротивления приборов. Сила тока через амперметр 5 равна сумме токов через амперметр 3, вольтметр 4 и вольтметр 2. Следовательно, сила тока в амперметре 3 меньше, чем в амперметре 5: \(I_3 = 200\) мкА, \(I_5 = 520\) мкА. Тогда сопротивление амперметров \[R_\text{А} = \frac{U_4}{I_3} = 10\text{ кОм}.\] Сила тока через вольтметр 1 равна сумме токов через амперметр 3 и вольтметр 4: \[I_1 = \frac{U_1}{R_V} = I_3 + \frac{U_4}{R_V}.\] Преобразуем это выражение: \(\dfrac{U_1 - U_4}{R_V} = I_3\), и выразим из него сопротивление вольтметров \[R_V = \frac{U_1 - U_4}{I_3} = 50\text{ кОм}.\]